آزمون آنلاین ریاضی دهم

می‌دانیم اگر a و b و c سه جملهٔ متوالی یک دنبالهٔ هندسی باشند، آنگاه b² = a.c
در این سوال اگر هر 4 جمله را یک دسته حساب کنیم، آن دنبالهٔ هندسی دارای 3 دسته است که مربع دستهٔ وسط برابر حاصل ضرب دو دستهٔ دیگر است. پس:
(a₅a₆a₇a₈)² = (a₁a₂a₃a₄) × (a₉a₁₀a₁₁a₁₂) = 12 × 108 = 1296
حاصل ضرب چهار جملهٔ وسط: √1296 = 36

با جمع کردن جملات متوالی دو به دو:
(a₁+a₂), (a₃+a₄), (a₅+a₆), ... → 2a₁+d, 2a₁+5d, 2a₁+9d, ...
قدرنسبت دنبالهٔ جدید: 4d = 10 ⇒ d = 10/4 (ده چهارم) = 5/2 (پنج دوم)
a₇ = a₁ + 6d = 19 ⇒ a₁ = 4
a₁₃ = a₁ + 12d = 4 + 12 × 5/2 (پنج دوم) = 34

با دقت در شکل (4)، داریم: 42 نقطه در وسط شکل قرار دارد و تعداد نقاط سمت راست و بالای شکل نیز یک دنبالهٔ مثلثی تشکیل می‌دهد.
تعداد نقاط شکل nام (n ≥ 3) برابر است با: 2n² − 2n + 1
تعداد نقاط شکل یازدهم: 2(11)² − 2(11) + 1 = 242 − 22 + 1 = 221

دنبالهٔ مثلثی به صورت زیر است: 1, 3, 6, 10, ...
اگر به جملات دوم و سوم و چهارم عدد ثابتی مانند x اضافه شود، داریم:
3+x, 6+x, 10+x
(6+x)² = (3+x)(10+x)
36 + 12x + x² = 30 + 13x + x² ⇒ x = 6
جملات دنبالهٔ هندسی: 9, 12, 16 ⇒ قدرنسبت: 4/3 (چهار سوم)

با توجه به جملهٔ اول و قدرنسبت دنبالهٔ هندسی، جملهٔ نهم و دهم را می‌یابیم:
a₉ = 16 , a₁₀ = 32
بین جملهٔ نهم و دهم، سه واسطهٔ حسابی درج می‌کنیم:
d = (32 − 16) ÷ 4 = 4 ⇒ جمله‌های درج شده: 20, 24, 28
مجموع این سه جمله: 72

دنبالهٔ مثلثی به صورت زیر است: 1, 3, 6, 10, ...
اگر به جملات دوم و سوم و چهارم عدد ثابتی مانند x اضافه شود، داریم:
3+x, 6+x, 10+x
(6+x)² = (3+x)(10+x)
36 + 12x + x² = 30 + 13x + x² ⇒ x = 6
جملات دنبالهٔ هندسی: 9, 12, 16 ⇒ قدرنسبت: 4/3 (چهار سوم)

بین a و b، 7 واسطهٔ هندسی قرار می‌دهیم:
{a, aq, aq², ..., aq⁷, aq⁸ = b}
واسطهٔ هندسی دوم: aq² = 2
واسطهٔ هندسی ششم: aq⁶ = 32
aq⁶ ÷ aq² = 32 ÷ 2 ⇒ q⁴ = 16 ⇒ q = 2 (چون جملات مثبت هستند q > 0)
a = 2 ÷ q² = 2 ÷ 4 = 1/2 (یک دوم)
جملهٔ چهارم: aq³ = 1/2 (یک دوم) × (2)³ = 4

دهانه رو به پایین است و رأس: x = 1 و y = -1/2 + 1 - 4 = -7/2.
حداکثر مقدار سهمی منفی است، پس همهٔ نقاط آن y < 0 دارند و سهمی فقط در ناحیه‌های سوم و چهارم است.
بنابراین از ناحیه‌های اول و دوم عبور نمی‌کند.

چون حداکثر دارد، دهانه رو به پایین است: y = a(x + 1)(x - 3) با a < 0.
رأس در وسط ریشه‌ها: x = 1؛ حداکثر مقدار: y(1) = a(2)(-2) = -4a = 4 → a = -1.
پس y = -(x + 1)(x - 3) = -x² + 2x + 3.

دو نقطه با عرض‌های برابر، نسبت به محور تقارن سهمی متقارن‌اند؛ پس a + b = -7/2 (قرینهٔ b/a = 7/2).
بنابراین 49/4 =²(a + b)

رأس سهمی: (1, 2). نقاط برخورد با محور xها: -2(x - 1)² + 2 = 0 → (x - 1)² = 1 → x = 0 یا x = 2.
قاعدهٔ مثلث (فاصلهٔ دو نقطهٔ برخورد) = 2 و ارتفاع (عرض رأس) = 2.
مساحت: (1/2) × 2 × 2 = 2.

شرط دو ریشهٔ متمایز: Δ > 0.
Δ = 4m² - 4(m + 2) > 0 → m² - m - 2 > 0 → (m - 2)(m + 1) > 0
پس m < -1 یا m > 2.

دو معادله را از هم کم می‌کنیم: (a - 1)x + (1 - a) = 0 → (a - 1)(x - 1) = 0.
حالت اول: a = 1 که در این صورت دو معادله بر هم منطبق‌اند و ریشهٔ مشترک دارند.
حالت دوم: x = 1 ریشهٔ مشترک است؛ با جایگذاری: 1 + a + 1 = 0 → a = -2.
مجموع مقادیر ممکن: 1 + (2-) = 1-

با تغییر متغیر t = x²: t² - 5t + 4 = 0 → t = 1 یا t = 4.
پس x² = 1 → x = ±1 و x² = 4 → x = ±2.
حاصل‌ضرب ریشه‌ها: (1)(-1)(2)(-2) = 4.

چون ریشهٔ مضاعف است، هر دو ریشه برابر ½ اند.
مجموع ریشه‌ها: ½ + ½= 1 = -a → a = -1
حاصل‌ضرب ریشه‌ها: (½)(½) = ¼ = b
پس a + b = -1 + ¼ = -¾.

شیب: ⁦a = (2 - 5) / (1 - (-2)) = -3 / 3 = -1⁩؛ از ⁦f(1) = 2⁩: ⁦-1 + b = 2 → b = 3⁩؛ پس ⁦f(x) = -x + 3⁩. از طرفی ⁦g(4) = 7⁩؛ بنابراین: ⁦f(g(4)) = f(7) = -7 + 3 = -4⁩.

تابع ثابت یعنی ضریب‌های x² و x صفر باشند: ⁦a - 2 = 0 → a = 2⁩ و ⁦b - 3 = 0 → b = 3⁩. تابع همانی یعنی ضریب x برابر 1 و عرض از مبدأ صفر: ضریب x برابر ⁦a + b - 4 = 1⁩ است (برقرار ✓) و ⁦c = 0⁩. پس ⁦a + b + c = 2 + 3 + 0 = 5⁩.

با ⁦f(x) = ax + b⁩: از رابطهٔ ⁦f(x + 3) = f(x) + 9⁩ نتیجه می‌شود ⁦3a = 9 → a = 3⁩. از ⁦f(1) = 5⁩: ⁦3 + b = 5 → b = 2⁩؛ پس ⁦f(x) = 3x + 2⁩. قطع با محور yها: ⁦y = 2⁩ و با محور xها: ⁦x = -2/3⁩. مساحت مثلث: ⁦(1/2) × (2/3) × 2 = 2/3⁩.

شیب: ⁦a = (5 - (-7)) / (2 - (-2)) = 12 / 4 = 3⁩. از ⁦f(2) = 5⁩: ⁦6 + b = 5 → b = -1⁩؛ پس ⁦f(x) = 3x - 1⁩. قطع با محور xها: ⁦3x - 1 = 0 → x = 1/3⁩.

باید عبارت ⁦2x - 1⁩ در دامنهٔ f باشد: ⁦2 ≤ 2x - 1 ≤ 5⁩. پس ⁦3 ≤ 2x ≤ 6⁩ یعنی ⁦3/2 ≤ x ≤ 3⁩؛ بنابراین دامنه برابر است با ⁦[3/2, 3]⁩.

با کامل کردن مربع: ⁦f(x) = (x - 1)² - 1⁩. رأس سهمی در ⁦x = 1⁩ داخل دامنه است، پس کمینه برابر ⁦-1 است. بیشینه در یکی از دو سر بازه: ⁦f(-1) = 3⁩ و ⁦f(3) = 3⁩. پس برد برابر است با ⁦[-1, 3]⁩.

تابع خطی یکنواست؛ دو حالت داریم: صعودی: ⁦f(-3) = -2⁩ و f(5) = 14⁩ → شیب 2 و ⁦f(x) = 2x + 4⁩ → ⁦c = f(1) = 6⁩. نزولی: ⁦f(-3) = 14⁩ و ⁦f(5) = -2⁩ → شیب -2 و ⁦f(x) = -2x + 8⁩ → ⁦c = f(1) = 6⁩. در هر دو حالت ⁦c = 6⁩ (زیرا 1 وسط دامنه و 6 وسط برد است)؛ پس مجموع مقادیر متمایز برابر 6 است.

عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: ⁦x + 3 ≥ 0 → x ≥ -3⁩. مخرج نباید صفر شود: ⁦x² - 4 ≠ 0 → x ≠ 2 و x ≠ -2⁩. پس دامنه برابر است با ⁦[-3, +∞) - {-2, 2}⁩.

چون هر دو پیکان به k می‌رسند، دو مولفهٔ دوم برابرند: ⁦2x - 4 = x + 1 → x = 5⁩. پس ⁦k = x + 1 = 6⁩.

چون 7 دو بار تکرار شده: ⁦m² - 4m = 5 → m = 5⁩ یا ⁦m = -1⁩. اگر ⁦m = -1⁩ باشد، دو نقطهٔ (-1, 6) و (-1, 2) داریم که تابع بودن را نقض می‌کند؛ پس ⁦m = 5⁩. نقطه‌های تابع: ⁦(7, 5), (2, 5), (5, 6), (-1, 2)⁩. نقطه‌هایی با هر دو مولفهٔ مثبت: ⁦(7, 5), (2, 5), (5, 6)⁩ یعنی 3 نقطه.

شرط تابع بودن: ⁦a² = a + 2⁩ و ⁦b² = a - 2b⁩. از معادلهٔ اول: a = 2⁩ یا ⁦a = -1⁩. اگر ⁦a = 2⁩: ⁦b² + 2b - 2 = 0⁩ یعنی ⁦b = -1 ± √3⁩ که مقدار حاصل عبارت را تقریباً -0.29 یا 1.09 می‌کند (هیچ‌کدام در گزینه‌ها نیست). اگر ⁦a = -1⁩: ⁦b² + 2b + 1 = 0 → b = -1⁩؛ پس ⁦f(2) = b² = 1⁩ و ⁦f(3) = a + 2 = 1⁩. بنابراین: ⁦(1 - 2) / (1 + 1) = -1/2⁩.

چون رابطه تابع است، مولفه‌های اول تکراری باید مولفهٔ دوم یکسان داشته باشند: ⁦(x - y)³ = -8 → x - y = -2⁩ ⁦(x + y)² = 16 → x + y = 4⁩ یا ⁦x + y = -4⁩ حالت اول: ⁦x = 1⁩ و y = 3⁩ → ⁦xy = 3⁩ حالت دوم: ⁦x = -3⁩ و y = -1⁩ → ⁦xy = 3⁩ در هر دو حالت حاصل برابر است با ⁦xy = 3⁩.

حالت هر دو در تیم: باید 4 نفر دیگر از 6 بازیکن باقی‌مانده انتخاب شوند: 15 طریق.
حالت هیچ‌کدام در تیم: باید هر 6 نفر از 6 بازیکن باقی‌مانده انتخاب شوند: 1 طریق.
مجموع: 16 = 15 + 1.

کل انتخاب‌های 4 نفره از 11 نفر: 330 طریق.
حالت‌های نامطلوب: همه دختر (5 طریق) و همه پسر (15 طریق) یعنی 20 حالت.
پس جواب برابر است با 310 = 330 - 20.

هر دو رأس یک پاره‌خط می‌سازند: 66 = (12 × 11) ÷ 2 پاره‌خط.
از این تعداد، 12 تای آن ضلعِ 12 ضلعی‌اند نه قطر.
پس تعداد قطرها برابر است با 54 = 66 - 12.

کل انتخاب‌های 5 نفره از 10 نفر: 252 طریق.
حالت‌هایی که هر دو شخص خاص در کمیته‌اند: باید 3 نفر دیگر از 8 نفر باقی‌مانده انتخاب شوند: 56 طریق.
پس جواب برابر است با 196 = 252 - 56.

کل جایگشت‌های 5 حرف متمایز: 120 = 5!
حالت‌هایی که «آ» در یکی از دو سر است: 48 = 2 × 24
پس جواب برابر است با 72 = 120 - 48.

حروف صدادار: ا، ی، ی و بی‌صداها: ر، ض. ابتدا بی‌صداها را می‌چینیم: 2 طریق؛ این دو، 3 شکاف ایجاد می‌کنند.
سه صدادار (با تکرار «ی») باید یکی‌یکی در این 3 شکاف قرار گیرند: 3 = 3! ÷ 2 طریق.
پس تعداد برابر است با 6 = 2 × 3.

چون تعداد پسرها یکی بیشتر است، الگوی تنها به‌صورت پ‌-د-پ-د-پ-د-پ است (پسرها در دو سر).
چیدن پسرها: 24 = 4! و چیدن دخترها در 3 جایگاه میانی: 6 = 3!
پس تعداد برابر است با 144 = 24 × 6.

کلمه 7 حرف دارد که «ا» دو بار تکرار شده: کل جایگشت‌ها 2520 = 7! ÷ 2
حالت کنار هم بودن دو «ا»: آن‌ها را یک بسته می‌گیریم؛ 6 عنصر متمایز: 720 = 6!
پس جواب برابر است با 1800 = 2520 - 720.

حالت یکان 0: صدگان 9 و دهگان 8 طریق یعنی 72 عدد.
حالت یکان یکی از 2، 4، 6، 8: صدگان 8 طریق (غیرصفر و غیر از یکان) و دهگان 8 طریق یعنی 64 عدد برای هر یکان؛ پس 256 = 64 × 4 عدد.
مجموع: 328 = 256 + 72.

رقم اول باید غیرصفر باشد: 9 طریق. دو صفر باید در دو تا از سه جایگاه سمت راست قرار بگیرند: 3 طریق. جایگاه باقی‌مانده نیز رقمی غیرصفر می‌گیرد: 9 طریق.
پس تعداد برابر است با 243 = 9 × 3 × 9.

کل جایگشت‌ها: 720 = 6!
سه رقم 1 و 2 و 3 در هر عدد، به یکی از 6 = 3! ترتیب نسبی ممکن ظاهر می‌شوند و همهٔ این ترتیب‌ها هم‌شمارند؛ فقط یکی از آن‌ها مطلوب ماست.
پس جواب برابر است با 120 = 720 ÷ 6.

عدد بر 4 بخش‌پذیر است اگر دو رقم سمت راستش عددی مضرب 4 بسازند. حالت‌های ممکن با ارقام متمایز از 1 تا 6: 12، 16، 24، 32، 36، 52، 56، 64 یعنی 8 حالت.
برای هر حالت، دو رقم اول از 4 رقم باقی‌مانده: 12 = 4 × 3 طریق.
پس تعداد برابر است با 96 = 8 × 12.

5000 کالا شامل 50 = 5000 ÷ 100 گروه صدتایی است و از هر گروه 2 کالا بررسی می‌شود.
پس حجم نمونه برابر است با 100 = 50 × 2.

آمار توصیفی فقط داده‌ها را سازمان‌دهی و خلاصه می‌کند (جدول، نمودار، میانگین و...)؛ رسم نمودار ستونی از نمره‌های کلاس توصیفی است. سه مورد دیگر از نمونه به جامعه تعمیم می‌دهند، پس آمار استنباطی‌اند.

زمان، مقداری اندازه‌گیری است که می‌تواند هر مقدار واقعی در یک بازه را بگیرد، پس کمی پیوسته است؛ سه گزینهٔ دیگر شمارشی و گسسته‌اند.

جامعه، مجموعهٔ همهٔ افراد مورد مطالعه است (همهٔ دانش‌آموزان استان) و نمونه، بخشی از جامعه است که برای بررسی انتخاب می‌شود (800 دانش‌آموز انتخاب‌شده).

سطح تحصیلات کیفی با ترتیب (ترتیبی)؛ تعداد کتاب‌ها کمی شمارشی (گسسته)؛ وزن کمی اندازه‌گیری (پیوسته)؛ رنگ چشم کیفی بدون ترتیب (اسمی). فقط گزینهٔ 4 این ترتیب را دارد.

رنگ چشم کیفی بدون ترتیب (اسمی) است؛ تعداد فرزندان کمی و شمارشی (گسسته)؛ دمای هوا کمی و اندازه‌گیری با هر دقت (پیوسته)؛ سطح رضایت کیفی با ترتیب معنادار (ترتیبی).

انتخاب‌ها مستقل‌اند: احتمال دختر از گروه A برابر 2/5 و از گروه B برابر 3/5.
پس احتمال هر دو دختر برابر است با 6/25 = (2/5) × (3/5).

کل جایگشت‌های 6 حرف با تکرار «ا»: 360 = 6! ÷ 2
حالت‌های کنار هم بودن دو «ا»: آن‌ها را یک بسته می‌گیریم؛ 5 عنصر: 120 = 5!
پس احتمال برابر است با 1/3 = 120/360.

اگر حاصل‌ضرب فرد باشد، هر دو عدد فردند؛ ولی تفاضل دو عدد فرد همواره زوج است، پس E و F نمی‌توانند با هم رخ دهند: ناسازگارند.
سایر گزینه‌ها هم‌زمان ممکن‌اند: A و B با جمع 6؛ C و D با پیامد (5، 5)؛ G و H با (2، 2).

کل زیرمجموعه‌های M برابر 64 است. زیرمجموعه‌هایی که 1 را دارند و 2 را ندارند، از 4 عنصر باقی‌مانده ساخته می‌شوند: 16 زیرمجموعه.
پس احتمال برابر است با ¼ = 16/64.

کل عددهای چهار رقمی بدون تکرار: 96 = 4 × 4 × 3 × 2
بخش‌پذیر بر 5 یعنی یکان 0 یا 5: یکان 0: 24 حالت؛ یکان 5: 18 حالت؛ جمعاً 42 حالت.
پس احتمال برابر است با 7/16 = 42/96.

از 36 حالت هم‌شانس، حالت‌هایی که حاصل‌ضرب بر 6 بخش‌پذیر است را می‌شماریم (بر اساس عدد تاس اول):
تاس اول 1: یک حالت؛ 2: دو حالت؛ 3: سه حالت؛ 4: دو حالت؛ 5: یک حالت؛ 6: شش حالت. جمعاً 15 حالت.
پس احتمال برابر است با 5/12 = 15/36.

وقتی اعضا با یک قاعدهٔ منظم و فاصلهٔ ثابت (هر 10 کالا) از فهرست انتخاب می‌شوند، نمونه‌گیری سیستماتیک است؛ شروع نیز با یک انتخاب تصادفی آغاز شده است.

آمار استنباطی از داده‌های نمونه، دربارهٔ جامعه نتیجه‌گیری می‌کند؛ برآورد نرخ بیکاری کل کشور از روی یک نمونه، استنباطی است. سه گزینهٔ دیگر فقط داده‌ها را خلاصه و نمایش می‌دهند (توصیفی).

تعداد غیبت‌ها مقداری شمارشی و صحیح است، پس کمی گسسته؛ وزن، زمان و دما اندازه‌گیری و پیوسته‌اند.

در نمونه‌گیری خوشه‌ای، جامعه به خوشه‌ها (اینجا کلاس‌ها) تقسیم می‌شود، چند خوشه به تصادف انتخاب و همهٔ اعضای خوشهٔ انتخاب‌شده بررسی می‌شوند. چون کلِّ کلاس‌های انتخابی پرسش شده‌اند، روش خوشه‌ای است (نه طبقه‌ای که از هر گروه فقط تعدادی انتخاب می‌شود).

تعداد خودروها شمارشی (گسسته)؛ مصرف سوخت اندازه‌گیری (پیوسته)؛ درجهٔ نظامی کیفی با ترتیب (ترتیبی)؛ برند خودرو کیفی بدون ترتیب (اسمی). فقط گزینهٔ 1 این ترتیب را دارد.

کمی پیوسته: فاصلهٔ دو نقطه، درجهٔ حرارت بدن و شاخص تودهٔ بدنی (هر سه اندازه‌گیری با هر دقت دلخواه).
سطح تحصیلات کیفی ترتیبی، گروه خونی کیفی اسمی و جمعیّت کشورها کمی گسسته است. پس 3 متغیر پیوسته داریم.

دو حالت ناسازگار: ریاضی از A و تجربی از B: 4/25 = (2/5) × (2/5)؛ تجربی از A و ریاضی از B: 9/25 = (3/5) × (3/5).
مجموع: 13/25 = 4/25 + 9/25.

حالت اول: شیر در پرتاب اول (با احتمال ½)؛ در این حالت دقیقاً یک شیر داریم (تاس شیر ندارد): سهم ½.
حالت دوم: خط در پرتاب اول (با احتمال ½) و سپس دقیقاً یک شیر از دو سکه (با احتمال ½): سهم ¼ = ½ × ½.
مجموع: ¾ = ½ + ¼.

کل چیدمان‌ها: 120 = 5!
کنار هم بودن دو نفر خاص: این دو را یک بسته می‌گیریم: 48 = 4! × 2
پس کنار هم نبودن در 72 = 120 - 48 حالت و احتمال برابر است با 3/5 = 72/120.

کل عددهای دو رقمی: 90. حاصل‌ضرب فرد است فقط وقتی هر دو رقم فرد باشند: 25 = 5 × 5 حالت.
پس حاصل‌ضرب زوج در 65 = 90 - 25 حالت رخ می‌دهد.
احتمال برابر است با 13/18 = 65/90.

عددهای دو رقمی ممکن: 10، 12، 18، 20، 21، 28، 80، 81، 82 یعنی 9 عدد.
کوچک‌تر از 50: شش عدد (10، 12، 18، 20، 21، 28). از این‌ها مضرب‌های 3 (یعنی 12، 18، 21) را حذف می‌کنیم: سه عدد مطلوب (10، 20، 28).
پس احتمال برابر است با 1/3 = 3/9.

از متمم: P(A) = 1 - P(A′) = 1 - 0.6 = 0.4
از رابطهٔ اجتماع: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) یعنی 0.8 = 0.4 + P(B) - 0.3
پس P(B) = 0.8 - 0.4 + 0.3 = 0.7.