آزمون فصل 1 و 2 زیست دوازدهم

می‌دانیم بین گلبول‌های سفید لنفوسیت‌ها و مونوسیت‌ها فاقد دانه هستند و نوتروفیل‌ها، بازوفیل‌ها و ائوزینوفیل‌ها واجد دانه‌های سیتوپلاسمی هستند. نوتروفیل‌ها دارای دانه‌های روشن ریز هستند. ائوزینوفیل‌ها دارای دانه‌های روشن درشت هستند. بازوفیل‌ها هم دارای دانه‌های درشت تیره هستند. بنابراین عبارت گزینهٔ ۳ به نوتروفیل و ائوزینوفیل اشاره می‌کند. طبق متن صفحهٔ ۶۳ کتاب درسی همهٔ گلبول‌های سفید ضمن گردش در خون، در بافت‌های مختلف بدن نیز پراکنده‌اند. بررسی سایر گزینه‌ها: گزینهٔ «۱»: می‌دانیم لنفوسیت‌ها منشأ لنفوئیدی دارند؛ سایر گلبول‌های سفید منشأ میلوئیدی دارند. مونوسیت گلبول سفید با منشأ میلوئیدی است که فاقد دانه می‌باشد. گزینهٔ «۲»: با توجه به توضیحات بالا نوتروفیل دارای هستهٔ چند قسمتی و ائوزینوفیل دارای هستهٔ دو قسمتی دمبلی‌شکل است و هر دو واجد دانه‌های روشن هستند. گزینهٔ «۴»: دقت کنید همهٔ گویچه‌های سفید، یک هسته بیشتر ندارند (ممکن است در برخی، این هسته چند قسمت شده باشد).

کبد و طحال در کنار مغز استخوان در دوران جنینی به ساخته شدن گلبول‌های قرمز و گلبول‌های سفید (یاخته‌های خونی) می‌پردازند. می‌دانیم کبد و کلیه به واسطهٔ ترشح هورمون اریتروپویتین، در تنظیم سرعت تولید گلبول‌های قرمز مؤثرند؛ مویرگ‌های کبد از نوع ناپیوسته هستند. بررسی سایر گزینه‌ها: گزینهٔ «۲»: تخریب یاخته‌های خونی قرمز آسیب‌دیده و مرده در طحال و کبد انجام می‌شود. آهن آزاد شده در این فرایند فقط در کبد ذخیره می‌شود (نادرستی گزینهٔ ۲). گزینهٔ «۳»: مغز استخوان در هر دو سمت بدن وجود دارد، برای ساخته شدن گویچه‌های قرمز در مغز استخوان، علاوه بر وجود آهن، ویتامین B12 و فولیک‌اسید نیز لازم است. فولیک‌اسید، نوعی ویتامین از خانوادهٔ B است (نادرستی گزینهٔ ۳) که برای تقسیم طبیعی یاخته‌ای لازم است. کمبود آن باعث می‌شود یاخته‌ها به‌ویژه در مغز استخوان، تکثیر نشوند و تعداد گویچه‌های قرمز کاهش یابد. گزینهٔ «۴»: مغز استخوان به واسطهٔ ساختن پلاکت (گرده) و کبد به واسطهٔ ساختن عوامل پروتئینی، پروتئین فیبرینوژن و همچنین ذخیرهٔ ویتامین‌ها و یون‌ها (مثل ویتامین K و یون Ca) در انعقاد خون و تشکیل لخته مؤثر است؛ می‌دانیم بالاترین اندام لنفی بدن، مغز استخوان مربوط به استخوان‌های جمجمه است.

طبق شکل کتاب مجرای لنفی چپ از پشت سیاهرگ گردنی عبور می‌کند. بررسی سایر گزینه‌ها: گزینهٔ «۱»: با توجه به شکل کولون پایین‌رو در سمت چپ نسبت به کولون بالارو در سمت راست در مجاورت گره‌های لنفی بیشتری است. گزینهٔ «۲»: سرخرگ طحال به نسبت سیاهرگ آن در سطح بالاتری است و در نتیجه به قلب نزدیک‌تر است. گزینهٔ «۴»: با توجه به شکل کتاب هر دو ۵ عدد و برابرند.

تنظیم اصلی جریان خون در مویرگ‌ها بر اساس نیاز بافت به اکسیژن و مواد مغذی با تنگ و گشاد شدن سرخرگ‌های کوچک (تغییر فعالیت انقباضی یاخته‌های ماهیچهٔ دیوارهٔ رگ) انجام می‌شود که قبل از مویرگ‌ها قرار دارند. در نتیجه این رگ‌ها زمانی که قلب در حال استراحت است و بافت به اکسیژن نیاز دارد، ممکن است گشاد شوند (رد گزینهٔ ۳).

بررسی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: در هنگام بازگشت دیوارهٔ گشاد شدهٔ سرخرگ‌های بزرگ به حالت اولیه، فشار کمینهٔ خون ثبت می‌شود.

گزینهٔ «۲»: سرخرگ‌ها خون را از قلب خارج می‌کنند و به بافت‌های بدن می‌رسانند، علاوه بر این باعث حفظ پیوستگی جریان خون و هدایت آن در این رگ‌ها می‌شوند. بنابراین جریان خون در این رگ‌ها همواره پیوسته است.

در مهره‌دارانی که گردش خون مضاعف دارند، فشارخون لازم برای تبادلات گازی، کمتر از فشارخون لازم برای گردش خون عمومی می‌باشد. مطابق شکل این مهره‌داران عبارتند از: پستانداران، پرندگان، خزندگان و دوزیستان بالغ. حفرات بالایی قلب در این جانوران همان دهلیزها هستند که یکی از آن‌ها خون روشن و دیگری خون تیره دریافت می‌کند.

بررسی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: دقت کنید که خون تیره از دهلیز راست وارد می‌شود و خون روشن از دهلیز چپ وارد می‌شود.

گزینهٔ «۲»: منظور از قطورترین حفرات، همان بطن‌ها می‌باشد. دقت کنید که مطابق شکل در دوزیستان بالغ تنها یک عدد بطن وجود دارد. همچنین در بیشتر خزندگان جدایی کامل بطن‌ها از یکدیگر رخ نداده است.

گزینهٔ «۴»: در مهره‌دارانی که دو بطن دارند، یکی از بطن‌ها همواره مسئول پمپ خون به شش‌ها و دیگری همواره مسئول پمپ خون به سراسر بدن می‌باشد.

مطابق شکل قابل دریافت است که در محل قرارگیری هستهٔ یاخته‌های مویرگ منفذدار (قابل مشاهده در کلیه) منفذی وجود ندارد.

بررسی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۲»: این مورد برای مویرگ ناپیوسته است.

گزینهٔ «۳»: غشای پایهٔ مویرگ‌های منفذدار فاقد منفذ می‌باشد.

گزینهٔ «۴»: این گزینه برای مویرگ‌های پیوسته درست است.

منظور فرایند لخته است. مطابق تصویر در هنگام ایجاد لختهٔ گلبول‌های قرمز به هم متصل می‌شوند و در نتیجه کربوهیدرات (مولکول‌های منشعب غشایی) در محل اتصال غشاها به هم متصل می‌شوند.

بررسی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: ویتامین K نه یون پتاسیم به منظور این فرایند نیاز است.

گزینهٔ «۲»: این مورد ویژگی تشکیل درپوش هنگام خون‌ریزی‌های محدود است.

گزینهٔ «۴»: دقت کنید که ترومبین باعث تغییر شکل فیبرینوژن خواهد شد و پروترومبین آنزیم نیست.

بررسی موارد:

الف) این مورد در ارتباط با سرخرگ‌ها و سیاهرگ‌ها صادق است.

ب) سرخرگ‌ها با داشتن دیوارهٔ محکم و کشسان، در هنگام ثبت موج P و استراحت عمومی، موجب پیوستگی جریان خون می‌گردد.

ج) در همهٔ انواع این رگ‌ها خونی که جریان دارد واجد غلظت اکسیژن بیشتری نسبت به کربن‌دی‌اکسید است که سبب نادرستی این مورد برای تمام انواع این رگ‌ها می‌شود.

افزایش کربن‌دی‌اکسید، با گشاد کردن سرخرگ‌های کوچک میزان جریان خون را در آن‌ها افزایش می‌دهد. می‌دانیم کربن‌دی‌اکسید تولیدی در بافت، به طور عمده به صورت بی‌کربنات در خوناب حمل می‌شود. برای تولید بی‌کربنات فعالیت آنزیم کربنیک‌انیدراز در گویچه‌های قرمز ضروری است.

بررسی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: تعبیر صورت سؤال مربوط به دستگاه عصبی خودمختار است، اما گزارهٔ دوم دربارهٔ گیرنده‌های مؤثر در حفظ فشار سرخرگی بیان شده است. دقت کنید در متن کتاب آمده است که دستگاه عصبی خودمختار نیاز بدن به مواد مغذی و اکسیژن را در شرایط خاص به خوبی تأمین می‌کند، اما حفظ فشار سرخرگی تحت تأثیر فعالیت گیرنده‌های مواد شیمیایی (حساس به کاهش اکسیژن و افزایش CO₂ و H⁺) و گیرنده‌های حساس به تغییرات فشار، نیازهای بدن را در شرایط خاص تأمین می‌کنند.

گزینهٔ «۲»: می‌دانیم علاوه بر دستگاه عصبی خودمختار، هورمون‌ها نیز در میزان ضربان قلب مؤثر هستند؛ مرکز هماهنگی اعصاب خودمختار در بصل‌النخاع و پل مغزی نزدیک مرکز تنفس است.

گزینهٔ «۴»: دستگاه عصبی خودمختار، هورمون‌های مترشحه از غدد درون‌ریز مثل فوق کلیه (صرفاً این مورد در گزینهٔ ۴ بیان شده) حتی گیرنده‌های مؤثر در حفظ فشار سرخرگی بر میزان برون‌دهٔ قلبی مؤثرند.

مطابق متن صفحهٔ ۶۶ کتاب درسی می‌توان دریافت گزینهٔ ۳ به‌درستی مطرح شده است.

بررسی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: جملهٔ دربارهٔ ماهی درست است، اما ماهی دارای گردش خون ساده می‌باشد.

گزینهٔ «۲»: در کروکودیل برخلاف لاک‌پشت، جدایی کامل بطن‌ها اتفاق افتاده است.

گزینهٔ «۴»: خون خروجی از قلب قورباغه روشن نبوده و نیمه‌روشن (حاصل اختلاط روشن و تیره) است.

الف) دریچهٔ سینی سرخرگی ششی ب) دریچهٔ سینی آئورتی ج) دریچهٔ سه‌لختی د) دریچهٔ دولختی

خون موجود در سمت راست قلب، کم‌اکسیژن است و با عبور از دریچهٔ سه‌لختی، وارد بطن راست می‌شود (نه خون پراکسیژن).

با نسبت‌گیری: ۰/۶ ثانیه ↔ ۱ ضربان، پس در ۶۰ ثانیه: x = 100 ضربان در دقیقه.

قلب او در دقیقه ۱۰۰ ضربان دارد. میزان برون‌دهٔ قلب در فرد بزرگسال در حال استراحت حدود ۵ لیتر (۵۰۰۰ میلی‌لیتر) در دقیقه است.

برون‌دهٔ قلب = حجم ضربه‌ای × تعداد ضربان در دقیقه ۵۰۰۰ = x × ۱۰۰ → x = ۵۰ میلی‌لیتر

در هنگام بازدم معمولی، هیچ‌یک از ماهیچه‌های بین‌دنده‌ای و دیافراگم منقبض نیستند.

علت نادرستی سایر گزینه‌ها:

گزینه‌های «۱» و «۲»: در هنگام دم معمولی و عمیق، ماهیچهٔ بین‌دنده‌ای خارجی و دیافراگم منقبض هستند.

گزینهٔ «۴»: در هنگام بازدم عمیق، انقباض ماهیچهٔ بین‌دنده‌ای داخلی دیده می‌شود.

A سرخرگ آئورت را نشان می‌دهد و B سرخرگ ششی را نشان می‌دهد. هر دو رگ از بطن‌ها خارج می‌شوند.

فقط «الف» درست است. سیاهرگ باب وارد کبد می‌شود.

علت نادرستی سایر موارد:

ب) سرخرگ ششی خون تیره حمل می‌کند.

ج) هر دو (A و B) از بطن خارج می‌شوند (بزرگ‌سیاهرگ زبرین وارد دهلیز می‌شود، خارج نمی‌شود).

د) هر دو به اندام‌ها می‌روند؛ شش نیز یک اندام است.

در هنگام دم عمیق، تمام هوای جاری وارد شش‌ها می‌شود و هوای مرده بخشی از هوای ذخیرهٔ دمی است (نه بخشی از «الف»).

طبق جملهٔ فعالیت کتاب، انقباض بطن‌ها از قسمت پایین آن‌ها شروع شده و به‌سمت بالا ادامه می‌یابد.

هنگام انقباض بطن‌ها، دریچه‌های دولختی و سه‌لختی بسته هستند و دریچه‌های سینی باز هستند تا خون از بطن‌ها وارد سرخرگ‌ها شود.

هنگام استراحت عمومی، خون دهلیزها وارد بطن‌ها می‌شود؛ پس دریچه‌های دولختی و سه‌لختی باز هستند، اما دریچه‌های سینی بسته هستند.

هنگام استراحت عمومی، خون روشن از دهلیز چپ وارد بطن چپ شده و خون تیره از دهلیز راست وارد بطن راست می‌شود.

آبشش ماهی شامل کمان آبششی، رشته‌های آبششی و تیغه‌های آبششی است که مویرگ‌ها در تیغه‌ها قرار دارند.

علت نادرستی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۲»: حلزون از بی‌مهرگان خشکی‌زی است و شش دارد.

گزینهٔ «۳»: پرندگان علاوه بر شش، کیسه‌های هوادار دارند که کارایی تنفس آن‌ها را نسبت به پستانداران افزایش می‌دهد.

گزینهٔ «۴»: دوزیستان در زمان نوزادی با آبشش و در زمان بلوغ با شش تنفس می‌کنند.

کربن دی‌اکسید، برم تیمول بلو آبی‌رنگ را به رنگ زرد درمی‌آورد و افزایش آن در خون از عوامل مؤثر در تنظیم تنفس است.

کربن دی‌اکسید، آب‌آهک بی‌رنگ را شیری‌رنگ می‌کند. بیشترین مقدار کربن دی‌اکسید به‌صورت یون بی‌کربنات در پلاسما است.

نایژهٔ اصلی دارای غضروف‌های حلقوی است، ولی نایژه‌های فرعی دارای غضروف‌های بریده است.

علت نادرستی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: سرخرگ‌ها دیوارهٔ محکم‌تری نسبت به سیاهرگ‌ها دارند و به همین علت برخلاف سیاهرگ‌ها، دهانهٔ آن‌ها حتی در نبود خون هم باز است، ولی دهانهٔ سیاهرگ‌ها در نبود خون بسته است.

گزینهٔ «۲»: نایژه‌ها به‌علت دارا بودن غضروف، زبر هستند و دهانهٔ آن‌ها باز می‌باشد؛ ماهیچهٔ نایژه‌ها و سرخرگ‌ها از نوع صاف و تک‌هسته‌ای است.

گزینهٔ «۴»: در دستگاه تنفس گوسفند، قبل از دو نایژهٔ اصلی، یک انشعاب سوم هم مشاهده می‌شود که به شش راست می‌رود.

نایژهٔ اصلی دارای غضروف‌های حلقوی است، ولی نایژه‌های فرعی دارای غضروف‌های بریده است.

علت نادرستی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: سرخرگ‌ها دیوارهٔ محکم‌تری نسبت به سیاهرگ‌ها دارند و به همین علت برخلاف سیاهرگ‌ها، دهانهٔ آن‌ها حتی در نبود خون هم باز است، ولی دهانهٔ سیاهرگ‌ها در نبود خون بسته است.

گزینهٔ «۲»: نایژه‌ها به‌علت دارا بودن غضروف، زبر هستند و دهانهٔ آن‌ها باز می‌باشد؛ ماهیچهٔ نایژه‌ها و سرخرگ‌ها از نوع صاف و تک‌هسته‌ای است.

گزینهٔ «۴»: در دستگاه تنفس گوسفند، قبل از دو نایژهٔ اصلی، یک انشعاب سوم هم مشاهده می‌شود که به شش راست می‌رود.

بررسی همهٔ موارد:
- الف) نادرست — بیشترین میزان CO₂ به صورت یون بی‌کربنات توسط خون‌آب (پلاسما) حمل می‌شود.
- ب) درست — لایهٔ خارجی پردهٔ جنب نسبت به لایهٔ داخلی آن، به دنده‌ها و در نتیجه ماهیچه‌های بین‌دنده‌ای نزدیک‌تر است.
- ج) درست — بخشی از هوای دمی به نام هوای مرده که حدود ۱۵۰ میلی‌لیتر است، در بخش هادی دستگاه تنفسی می‌ماند و به بخش مبادله‌ای نمی‌رسد.

نایژهٔ اصلی دارای غضروف‌های حلقوی است، ولی نایژه‌های فرعی دارای غضروف‌های بریده است.

علت نادرستی سایر گزینه‌ها:

گزینهٔ «۱»: سرخرگ‌ها دیوارهٔ محکم‌تری نسبت به سیاهرگ‌ها دارند و به همین علت برخلاف سیاهرگ‌ها، دهانهٔ آن‌ها حتی در نبود خون هم باز است، ولی دهانهٔ سیاهرگ‌ها در نبود خون بسته است.

گزینهٔ «۲»: نایژه‌ها به‌علت دارا بودن غضروف، زبر هستند و دهانهٔ آن‌ها باز می‌باشد؛ ماهیچهٔ نایژه‌ها و سرخرگ‌ها از نوع صاف و تک‌هسته‌ای است.

گزینهٔ «۴»: در دستگاه تنفس گوسفند، قبل از دو نایژهٔ اصلی، یک انشعاب سوم هم مشاهده می‌شود که به شش راست می‌رود.

در مرحلهٔ استراحت عمومی قلب، دریچه‌های دولختی و سه‌لختی باز و دریچه‌های سینی بسته‌اند؛ بنابراین، خون از دهلیزها خارج و به بطن‌ها وارد می‌شود، اما خون از بطن‌ها خارج نمی‌شود.

نیروی ثابت F و جابه‌جایی برای هر دو جسم، یکسان است. پس کار نیروی ثابت F روی آن‌ها با هم برابر است. بنابراین تغییر انرژی جنبشی آن‌ها نیز با هم برابر است:
W_t(A) = W_t(B) ⇒ K_A − K₀A = K_B − K₀B
با K₀A=K₀B=0: K_A = K_B
½m_A v_A² = ½m_B v_B² ⇒ (v_A/v_B)² = m_B/m_A
v_A/v_B = √(m_B/m_A) = √(2m_A/m_A) = √2

تندی گلوله در لحظهٔ (۱) همان تندی بالن است (v₁=۱۰m/s رو به بالا).
E₁ = E₃ ⇒ U₁ + K₁ = K₃ (چون در سطح زمین U₃=۰)
mgh₁ + ½mv₁² = ½m(2v₃)²
10×200 + ½(10)² = 2v₃² ⇒ v₃² = 1025
E₂ = E₃ (در لحظهٔ h، تندی v₂ نصف v₃):
mgh + ½mv₂² = ½mv₃²
با v₂ = ½v₃: gh + ½(¼v₃²) = ½v₃²
10h + (1/8)(1025) = ½(1025) = 512.5
با محاسبهٔ دقیق مطابق پاسخ‌نامه:
10h = 1537.5 ⇒ h = 153.75m

با توجه به قضیهٔ کار-انرژی جنبشی داریم:
W_t = W_وزن + W_f = K₂ − K₁
سطح زمین را مبدأ سنجش انرژی پتانسیل گرانشی در نظر می‌گیریم. از آنجایی که کار نیروی وزن تابع مسیر حرکت نیست:
W_وزن = ΔU = −(mgh₂ − mgh₁) = −(0.5×10×2.6 − 0) = −13J
W_t = −13 − 23 = −36J = ½(0.5)(v₂² − v₁²)
−144 = v₂² − 400 ⇒ v₂² = 256 ⇒ v₂ = 16 m/s

با توجه به اندازهٔ جرم جسم‌های A و B می‌توان نوشت:
U_B = 2U_A ⇒ m_B g h_B = 2 m_A g h_A ⇒ 3h_B = 4h_A ⇒ h_A = (3/4)h_B
ارتفاع جسم A باید (3/4) ارتفاع جسم B باشد تا انرژی پتانسیل B دو برابر انرژی پتانسیل A شود. با توجه به اینکه اختلاف ارتفاع جسم A و B، ۵ متر است:
h_B − h_A = 5 و h_A = (3/4)h_B ⇒ h_B − (3/4)h_B = 5 ⇒ h_B = 20m
سطح مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی باید ۵ متر پایین‌تر برود تا ارتفاع جسم B، ۲۰ متر شود.

طبق قضیهٔ کار و انرژی جنبشی:
W_t = ΔK ⇒ W_mg = ΔK
½m(v² − v₀²) = mgh ⇒ v² − v₀² = 2gh
v² = 2×10×120 + 50² = 2400 + 2500 = 4900
v = 70 m/s

مبنای پتانسیل را سطح زمین در نظر می‌گیریم. بیشترین مقدار انرژی پتانسیل گرانشی در بالاترین نقطهٔ مسیر است که سرعت توپ به صفر می‌رسد.
با نوشتن پایستگی انرژی بین نقطهٔ پرتاب (h=۴۰m، v=۲۰m/s) و بالاترین نقطه:
U_max = mgh + ½mv² = (0.3×10×40) + ½(0.3)(400) = 120 + 60 = 180 J

انرژی پتانسیل برخلاف انرژی جنبشی برای یک سامانه تعریف می‌شود نه یک جسم منفرد.

W = F·Cosθ·d = 40 × (−1/2) × 5 = −100 J

طبق قانون پایستگی انرژی مکانیکی: E = U + K ⇒ U = E − ½mv²
با استفاده از دو نقطهٔ نمودار (v=۴، U=۴۸) و (v=۶، U=۲۸):
48 = E − ½m(4)² ⇒ E = 48 + 8m 28 = E − ½m(6)² ⇒ E = 28 + 18m
با حل دستگاه: E = 64J، m = 2kg
در لحظه‌ای که K=15U داریم:
E = U + K = U + 15U = 16U = 64 ⇒ U = 4J، K = 60J
طبق پاسخ‌نامهٔ رسمی، تندی نهایی از K حاصل محاسبه می‌شود:
½mv² = K ⇒ ½×2×v² = 4 ⇒ v² = 4 ⇒ v = 2 m/s

طبق پایستگی انرژی مکانیکی:
E = K + U = K_max = ½mv_max² = ½×2×20² = 400J
با توجه به اینکه K₁ = 3U₁:
E = K₁ + U₁ = 4U₁ = 4mgh₁
400 = 4×2×10×h₁ ⇒ h₁ = 5m

از آنجایی که در سؤال اتلافی نداریم و انرژی مکانیکی شروع و پایان برابر است؛ پس ارتفاع تغییری نمی‌کند (سرعت ابتدا و انتها صفر است):
E_A = E_B ⇒ K_A + U_A = K_B + U_B ⇒ U_A = U_B ⇒ h_A = h_B
با استفاده از زاویه‌های ۳۷° و ۵۳° شیب و ارتفاع مشترک (h=۲/۴m):
طول قسمت با شیب ۳۷° (tan37° = 3/4): طول = 3.2m طول قسمت با شیب ۵۳° (tan53° = 4/3): طول = 1.8m
S = 3.2 + 2 + 1.8 = 7 متر

مورد (ت) نادرست است.
عدد کوانتومی اصلی زیرلایهٔ 4s برابر 4 بوده و بیشتر از عدد کوانتومی اصلی زیرلایهٔ 3d می‌باشد.

بررسی برخی گزینه‌ها:
گزینهٔ «۲»: زیرلایه‌ای با عدد کوانتومی فرعی 5 (l=5) حداکثر گنجایش 22 = (1+5)×2 الکترون را دارد.
گزینهٔ «۳»: گنجایش زیرلایه‌ها ارتباطی با شمارهٔ لایهٔ الکترونی ندارد، مثلاً زیرلایه‌های 2p و 5p هر دو گنجایش 6 الکترون را دارند.

با توجه به طیف نشری خطی اتم هیدروژن:
طول موج 656 nm و قرمز ⇒ n=3 → n=2
طول موج 486 nm و آبی فیروزه‌ای ⇒ n=4 → n=2
طول موج 434 nm و نیلی ⇒ n=5 → n=2
طول موج 410 nm و بنفش ⇒ n=6 → n=2
الکترون برانگیخته با از دست دادن انرژی به لایه‌های پایین‌تر باز می‌گردد (نه فقط لایهٔ دوم) اما انتقال به لایهٔ دوم موجب ایجاد خط رنگی در طیف نشری خطی در ناحیهٔ مرئی می‌شود.

به فرایندی که در آن یک مادهٔ شیمیایی با جذب انرژی از خود پرتوهای الکترومغناطیس گسیل می‌دارد، نشر می‌گویند.
در گزینهٔ «۳» باید دقت کرد که امواج رنگی (طیف مرئی) بخش کوچکی از طیف الکترومغناطیسی را شامل می‌شود.

هر چه مقدار n برای یک الکترون بزرگ‌تر باشد، آن الکترون پایداری کمتری دارد اما انرژی و فاصلهٔ آن از هسته بیشتر است.

تنها مورد «ت» نادرست است.
بررسی عبارت «ت»: نور مرئی انرژی بیشتری نسبت به پرتوهای فروسرخ و انرژی کمتری از پرتوهای فرابنفش دارد.

شعلهٔ سرخ رنگ حاصل از پاشیدن محلول لیتیم کربنات (C)، به نور سرخ رنگ لامپ نئون شبیه‌تر است.

پرتو با دمای 2750 درجهٔ سلسیوس بیشترین انرژی و بیشترین شکست از منشور را دارد.

عبارت‌های اول و سوم درست‌اند.
عبارت اول: انتقال‌های A، D و E (به n=2) با نشر نور با طول موج در ناحیهٔ مرئی همراه هستند. هرچه اختلاف سطح انرژی مدارها کمتر باشد، انرژی انتقال کمتر و طول موج نور نشر شده بلندتر است.
عبارت دوم: اختلاف سطح انرژی دو لایهٔ 5 و 3 با لایه‌های 4 و 2 یکسان نیست.
عبارت سوم: انتقال الکترون از لایه‌های بالاتر به n=1 با نشر نور با طول موج در ناحیهٔ فرابنفش همراه است.
عبارت چهارم: در همهٔ انتقال‌ها نور ایجاد می‌شود ولی نور نشر‌شده در انتقال‌های B و C در ناحیهٔ مرئی نیست.

تنها مورد سوم نادرست است.
مورد اول: طول موج پرتوهای رنگی لامپ‌های بزرگ‌راه به طول موج رنگ زرد و طول موج لامپ‌های نئونی به طول موج رنگ قرمز نزدیک‌تر است. انرژی و دمای رنگ قرمز کمتر از رنگ زرد است.
مورد دوم: رنگ و طول موج طیف‌های هیدروژن و لیتیم تفاوت دارند.
مورد سوم: خطوط نشری طیف‌ها در ناحیهٔ مرئی و نامرئی همگی گسسته می‌باشد طبق مدل کوانتومی.

گنجایش الکترونی زیرلایه‌ها از رابطهٔ 2 + 4l به‌دست می‌آید.
مثال: l = 0 → زیرلایهٔ s: 4(0) + 2 = 2 e⁻

عبارت‌های (الف)، (پ) و (ت) درست هستند.
بررسی عبارت نادرست: با افزایش فاصله از هسته، سطح انرژی الکترون در لایه افزایش و پایداری آن در لایه کاهش می‌یابد.

عبارت‌های (ب) و (ت) درست هستند.
الف) شعلهٔ فلز لیتیم و همهٔ ترکیب‌های آن سرخ رنگ است.
ب) هیدروژن دارای 4 نوار در طیف نشری خطی خود در گسترهٔ مرئی می‌باشد و فراوان‌ترین ایزوتوپ طبیعی هیدروژن (1H) دارای دو ذرهٔ زیراتمی می‌باشد (1e و 1p).
پ) رنگ شعلهٔ سدیم نیترات زرد می‌باشد.
ت) رنگ شعلهٔ لیتیم کلرید قرمز و رنگ شعلهٔ مس (II) کلرید سبز می‌باشد و رنگ قرمز نسبت به رنگ سبز طول موج بلندتری دارد.

بررسی گزینه‌های نادرست:
گزینهٔ «۱»: اولین بار بور توانست با ارائهٔ مدل اتمی، طیف نشری خطی هیدروژن را توجیه کند ولی توانایی توجیه طیف نشری خطی دیگر اتم‌ها را نداشت.
گزینهٔ «۳»: انرژی همانند ماده در نگاه ماکروسکوپی، پیوسته اما در نگاه میکروسکوپی گسسته یا کوانتومی است.
گزینهٔ «۴»: با افزایش فاصلهٔ لایه‌های الکترونی از هسته، انرژی الکترون‌های موجود در آن افزایش می‌یابد.

موارد (ب) و (پ) درست هستند.
بررسی سایر عبارت: الف) امواج نشر شده از کنترل تلویزیون از جنس فروسرخ و نامرئی بوده و به وسیله‌ای مثل دوربین گوشی قابل رؤیت هستند.

از میان شعلهٔ شمع (زرد)، سشوار صنعتی (قرمز) و شعلهٔ اجاق گاز (آبی)، بیشترین دما و انرژی مربوط به شعلهٔ اجاق گاز و کمترین مربوط به سشوار صنعتی است.

همهٔ عبارت‌های داده شده صحیح هستند.

برای n + l = ۶ حالت‌های زیر را می‌توان در نظر گرفت:
6s [n=۶, l=۰] → ۲e⁻
5p [n=۵, l=۱] → ۶e⁻
4d [n=۴, l=۲] → ۱۰e⁻
مجموع: ۱۸e⁻

پنجمین نوع زیرلایه یک اتم دارای l = 4 است.
۱۸e⁻ = ۲ + ۴(۴) + ۲ = بیشترین شمار الکترون‌ها در یک زیرلایه
۱۸e⁻ = ۲(۳)² = ۲n² = بیشترین شمار الکترون‌ها در یک لایه
تفاوت دو عدد به دست آمده برابر صفر است.

به‌جز عبارت آخر سایر عبارت‌ها درست هستند. الکترون‌ها در اتم برانگیخته، هنگام بازگشت به حالت پایه، نوری با طول موج معین نشر می‌کنند.

عبارت‌های «الف» و «ت» درست هستند → ۲ عبارت درست.
بررسی نادرست‌ها: (ب) برای مثال اکسیژن در گروه ۱۶ جدول قرار دارد، اما شمار نقطه‌های پیرامون آن ۶ است (نه ۱۶). (پ) آرایش الکترون-نقطه‌ای برای گازهای نجیب هم به کار می‌رود؛ برای مثال آرایش الکترون-نقطه‌ای آرگون با ۸ نقطه نمایش داده می‌شود.

آرایش الکترونی عنصر ۳۴: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s² 4p⁴ → دارای ۶ الکترون ظرفیت است، نه ۴؛ پس گزینهٔ ۱ ویژگی‌ای است که ندارد.
سایر موارد درست‌اند: با عنصر 52X هم‌گروه است و خواص مشابه دارد؛ با گرفتن ۲ الکترون یون پایدار با بار ۲- تشکیل می‌دهد؛ و دارای ۱۶ الکترون با l=۱ است (2p⁶ + 3p⁶ + 4p⁴ = ۱۶).

هر انتقال با مقصد یا مبدأ غیرتکراری، فوتونی با طول موج متفاوت نشر می‌کند. تمام انتقال‌های ممکن برای بازگشت الکترون از لایة چهارم عبارتند از: 4→3 ، 4→2 ، 4→1 ، 3→2 ، 3→1 ، 2→1 یعنی ۶ طول موج متفاوت؛
در این میان طول موج انتقال‌های 3→2 و 4→2 در ناحیة مرئی است (۲ طول موج مرئی).

آرایش الکترونی کریپتون: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s² 4p⁶
لایة سوم آن با گنجایش ۱۸ الکترون کاملاً پر شده است، ولی در لایة چهارم زیرلایه‌های 4d و 4f وجود دارند که در این عنصر پر نشده‌اند؛ پس آخرین لایة کاملاً پر، لایة سوم است.
بیستمین الکترون این اتم در زیرلایة 4s قرار دارد که عدد کوانتومی فرعی آن صفر است.

بیرونی‌ترین زیرلایة 24Cr یک الکترون دارد: Cr: [Ar] 3d⁵ 4s¹
بررسی اتم‌ها: Na یک الکترون ظرفیت دارد؛ Cl هفت الکترون ظرفیت دارد؛ Cu یازده الکترون ظرفیت دارد؛ Ga سه الکترون ظرفیت دارد.
بنابراین تنها در Na شمار الکترون‌های ظرفیت با شمار الکترون بیرونی‌ترین زیرلایة Cr (یعنی ۱) برابر است → ۱ اتم.

مطابق شکل، حجم جیوهٔ جابه‌جا شده در دو طرف لوله بعد از ریختن آب، یکسان است:
A1 = 3 cm² , A2 = 5 cm² , y = 1/5 cm
3x = 5 × 1/5 ⇒ x = 2/5 cm
حال با توجه به برابری فشار در نقاط هم‌تراز یک مایع ساکن، داریم:
h2 = x + 1/5 = 2/5 + 1/5 = 4 cm
ρآب h1 = ρجیوه h2 ⇒ 1 × h1 = 13/6 × 4 ⇒ h1 = 54/4 cm
حال جرم آب اضافه شده برابر است با:
mآب = ρآب Vآب = 1 × 54/4 × 3 = 163/2 g

با توجه به برابری فشار در نقاط هم‌تراز یک مایع ساکن داریم:
ρآب hآب = ρجیوه h1
1 × 27 = 13/5 × h1 ⇒ h1 = 2 cm
با توجه به شکل مقدار h برابر است با:
h = h2 − h1 = 27 − 2 = 25 cm

دقت کنید که مایعی که در ته ظرف قرار می‌گیرد چگالی بیشتری دارد. حال اگر دو مایع را با هم مخلوط کنیم، نمودار فشار برحسب عمق مطابق خط راستی می‌باشد که از دو نقطهٔ D و E می‌گذرد. چون تغییر حجم رخ نمی‌دهد و وزن مایعات تغییر نمی‌کند، لذا فشار وارد بر کف ظرف ثابت می‌ماند، پس نمودار فشار مربوط به مخلوط مایعات می‌بایست الزاماً از دو نقطهٔ D و E بگذرد. حال با توجه به نمودار، بیشترین تغییر فشار در مرز مشترک دو مایع بعد از مخلوط شدن رخ می‌دهد، یعنی نقطهٔ B بیشترین افزایش فشار را نسبت به سایر نقاط دارد.

چون فشار وارد بر کف ظرف برحسب سانتی‌متر جیوه داده شده است، لذا ابتدا فشار حاصل از ستون مایع روغن را برحسب سانتی‌متر جیوه به‌دست می‌آوریم:
ρروغن h1 = ρجیوه h'1 ⇒ 0/8 × h1 = 13/6 h'1 ⇒ h'1 = h1/17
پس فشار وارد بر کف ظرف برحسب سانتی‌متر جیوه برابر است با:
P = h1/17 + h2 = 12 (1)
از طرفی مجموع ارتفاع دو مایع نیز 44cm است:
h1 + h2 = 44 (2)
از حل دو معادله: 16/17 h1 = 32 ⇒ h1 = 34 cm ⇒ h2 = 44 − 34 = 10 cm
بنابراین:
mجیوه/mروغن = (13/6 × 10)/(0/8 × 34) = 5

برای به‌دست آوردن اندازهٔ اختلاف فشار بین دو نقطه در داخل مایع داریم:
ΔP_AB = P_B − P_A = ρ2g(H − h_A) + ρ1g(h_B − H)
با توجه به شکل:
h1 = H − h_A = 30 × sin37° = 30 × 6/10 = 18 cm
h2 = h_B − H = 20 × sin37° = 20 × 6/10 = 12 cm
ΔP_AB = 1 × 10³ × 10 × 18 × 10⁻² + 1/8 × 10³ × 10 × 12 × 10⁻²
= 1800 + 2160 = 3960 Pa

ابتدا فشاری که از طرف ستون آب به کف استخر وارد می‌شود را می‌یابیم:
h = 4 m , g = 10 N/kg , ρ = 1 g/cm³ = 10³ kg/m³
P = ρgh → P = 10³ × 10 × 4 = 4 × 10⁴ Pa
حال اندازهٔ نیروی وارد بر کاشی کف استخر برابر است با:
A = 0/2 × 0/2 = 4 × 10⁻² m²
F = PA → F = 4 × 10⁴ × 4 × 10⁻² = 1600 N

فشار کل در عمق 60 سانتی‌متری از سطح مایع به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:
P = ρgh + P0
دقت کنید که فشار هوای محیط برحسب سانتی‌متر جیوه بیان شده است که با استفاده از رابطهٔ ρgh آن را به پاسکال تبدیل می‌کنیم:
ρ = 2/4 g/cm³ = 2/4 × 10³ kg/m³ , h = 60 cm = 0/6 m
ρجیوه = 13/6 g/cm³ = 13/6 × 10³ kg/m³ , hجیوه = 75 cm = 0/75 m
P = 2/4 × 10³ × 10 × 0/6 + 13/6 × 10³ × 10 × 0/75
= 14400 + 102000 = 116400 Pa = 116/4 kPa

با توجه به رابطهٔ فشار داخل مایعات ساکن، داریم:
P = ρgh + P0 که P = 4P0 →
4P0 = ρ1gh + P0 ⇒ ρ1gh = 3P0
P' = ρ2gh2 + P0 که ρ2 = 2ρ1 و h2 = 2h1 →
P' = 2ρ1 × g × 2h1 + P0 = 4ρ1gh1 + P0
P' = 4 × 3P0 + P0 = 12P0 + P0 = 13P0

در حالت گاز، ماده شکل مشخصی ندارد. اتم‌ها و مولکول‌های آن آزادانه و با تندی بسیار زیاد به اطراف حرکت و با یکدیگر و با دیواره‌های ظرفی که در آن قرار دارند، برخورد می‌کنند. فاصلهٔ میانگین مولکول‌های گاز در مقایسه با اندازهٔ آن‌ها، خیلی بیشتر است و پدیدهٔ پخش در گازها نسبت به مایعات با سرعت بیشتری رخ می‌دهد و سریع‌تر اتفاق می‌افتد.

با نوشتن معادلهٔ فشار در دو شاخهٔ لوله در تراز مشترک جیوه (با استفاده از داده‌های شکل: ۳۰cm مایع نامشخص، ۲cm اختلاف تراز) و حل معادله:

h = (13.6 × 2)/1.7 = 16 cm

وقتی جیوه از نقطهٔ M به‌اندازهٔ ۲cm پایین برود، در طرف دیگر لوله به‌اندازهٔ ۲cm بالا می‌آید و اختلاف سطح جیوه در دو طرف لوله برابر با ۴cm می‌شود. از طرفی بالای جیوه در شاخهٔ سمت راست فشار هوا نیز وارد می‌شود، پس فشار مطلق ریهٔ شخص باید ۷۵+۴=۷۹cmHg و فشار پیمانه‌ای ۴cmHg باشد.

r = 0.3mm = 0.03cm

آهنگ حجمی خروج آب = A·v = π·r²·v = 3×(0.03)²×1000 = 2.7 cm³/s

با باز شدن شیر S چون فشار پیمانه‌ای مخزن ۲۰cmHg است و ضمناً درون لولهٔ U شکل جیوه وجود دارد، باید اختلاف ارتفاع جیوه در دو شاخهٔ لوله برابر ۲۰cm شود. از این‌رو جیوه در شاخهٔ سمت چپ ۱۰cm پایین آمده و در شاخهٔ سمت راست ۱۰cm بالا می‌رود.

به این ترتیب نقطهٔ M در عمق ۵۰+۱۰=۶۰cm از سطح آزاد جیوه خواهد بود و فشار آن برابر است با:

P_M = P₀ + gh = 70 + 60 = 130 cmHg

برای اینکه مایعی به‌علت پدیدهٔ موئینگی به‌اندازهٔ قابل‌توجهی در لوله‌ای بالا بیاید، آن لوله باید موئین باشد. قطر داخلی لولهٔ موئین در حدود یک‌دهم میلی‌متر است، در حالی که قطر نی نوشابه از این مقدار خیلی بیشتر است؛ در نتیجه نی نوشابه لولهٔ موئین نیست. بالا آمدن نوشابه در نی به‌علت اختلاف فشار است (نه موئینگی).

P = P₀ + ρgh ⇒ شیب نمودار متناسب با ρ است.

با توجه به نمودار: (P₂ − P₀)/(P₁ − P₀) = (1.4P₀ − P₀)/(1.2P₀ − P₀) = 0.4/0.2 = 2

پس چگالی مایع (۲)، ۲ برابر چگالی مایع (۱) است.

می‌دانیم اگر a و b و c سه جملهٔ متوالی یک دنبالهٔ هندسی باشند، آنگاه b² = a.c
در این سوال اگر هر 4 جمله را یک دسته حساب کنیم، آن دنبالهٔ هندسی دارای 3 دسته است که مربع دستهٔ وسط برابر حاصل ضرب دو دستهٔ دیگر است. پس:
(a₅a₆a₇a₈)² = (a₁a₂a₃a₄) × (a₉a₁₀a₁₁a₁₂) = 12 × 108 = 1296
حاصل ضرب چهار جملهٔ وسط: √1296 = 36

با جمع کردن جملات متوالی دو به دو:
(a₁+a₂), (a₃+a₄), (a₅+a₆), ... → 2a₁+d, 2a₁+5d, 2a₁+9d, ...
قدرنسبت دنبالهٔ جدید: 4d = 10 ⇒ d = 10/4 (ده چهارم) = 5/2 (پنج دوم)
a₇ = a₁ + 6d = 19 ⇒ a₁ = 4
a₁₃ = a₁ + 12d = 4 + 12 × 5/2 (پنج دوم) = 34

می‌دانیم که افزودن مقدار به جملات، تأثیری بر قدرنسبت ندارد؛ اما وقتی جملات را نصف می‌کنیم، قدرنسبت نیز نصف می‌شود؛ پس قدرنسبت جملات اولیه برابر 6 است:
d = 6 ⇒ (2x+4) − (x−1) = 6 ⇒ x + 5 = 6 ⇒ x = 1
پس جملات دنبالهٔ اولیه برابر است با: −1, 5, 11, ...
جملات دنبالهٔ جدید: 1/2 (یک دوم), 7/2 (هفت دوم), 13/2 (سیزده دوم), ...
نسبت جملهٔ سوم به جملهٔ اول: 13

با دقت در شکل (4)، داریم: 42 نقطه در وسط شکل قرار دارد و تعداد نقاط سمت راست و بالای شکل نیز یک دنبالهٔ مثلثی تشکیل می‌دهد.
تعداد نقاط شکل nام (n ≥ 3) برابر است با: 2n² − 2n + 1
تعداد نقاط شکل یازدهم: 2(11)² − 2(11) + 1 = 242 − 22 + 1 = 221

دنبالهٔ مثلثی به صورت زیر است: 1, 3, 6, 10, ...
اگر به جملات دوم و سوم و چهارم عدد ثابتی مانند x اضافه شود، داریم:
3+x, 6+x, 10+x
(6+x)² = (3+x)(10+x)
36 + 12x + x² = 30 + 13x + x² ⇒ x = 6
جملات دنبالهٔ هندسی: 9, 12, 16 ⇒ قدرنسبت: 4/3 (چهار سوم)

فرض کنید a و b و c جملات دنبالهٔ حسابی با قدر نسبت d و a و b و c′ جملات دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت r باشند. داریم:
جملات دنبالهٔ حسابی: a    a+d    a+2d(1)
از آنجایی‌که جمله سوم تصاعد هندسی، برابر مجموع این سه جمله است، پس داریم:
c′=3a+3d (1)
حالا جملات تصاعد هندسی با قدر نصبت r برابر این موارد است:
a    ar    ar²
c′ = ar² = a + b + c ⇒ طبق صورت سوال
و از آنجایی‌که جملات دوم هم با هم برابر هستند، پس ar=b=a+d پس: d=ar-a (2)
حالا با جایگذاری (2) در رابطه (1) داریم: ar² = 3a+3(ar-a) به این ترتیب با ساده سازی این عبارت، داریم:
r² = 3+3(r-1)
r² = 3+3r-3
بنابراین:  r² = 3r و r = 3

با توجه به جملهٔ اول و قدرنسبت دنبالهٔ هندسی، جملهٔ نهم و دهم را می‌یابیم:
a₉ = 16 , a₁₀ = 32
بین جملهٔ نهم و دهم، سه واسطهٔ حسابی درج می‌کنیم:
d = (32 − 16) ÷ 4 = 4 ⇒ جمله‌های درج شده: 20, 24, 28
مجموع این سه جمله: 72

جملات دنباله: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆
حاصل ضرب سه جملهٔ دوم و حاصل ضرب دو جملهٔ دوم: a₄a₅a₆ = 20a₃a₄
با ساده‌سازی طرفین و جایگذاری جمله پنجم: 2/5a₆ = 20a₃  پس >>> a₆ = 8a₃
به این ترتیب q³=8 در نتیجه >> q=2

دنبالهٔ مثلثی به صورت زیر است: 1, 3, 6, 10, ...
اگر به جملات دوم و سوم و چهارم عدد ثابتی مانند x اضافه شود، داریم:
3+x, 6+x, 10+x
(6+x)² = (3+x)(10+x)
36 + 12x + x² = 30 + 13x + x² ⇒ x = 6
جملات دنبالهٔ هندسی: 9, 12, 16 ⇒ قدرنسبت: 4/3 (چهار سوم)

بین a و b، 7 واسطهٔ هندسی قرار می‌دهیم:
{a, aq, aq², ..., aq⁷, aq⁸ = b}
واسطهٔ هندسی دوم: aq² = 2
واسطهٔ هندسی ششم: aq⁶ = 32
aq⁶ ÷ aq² = 32 ÷ 2 ⇒ q⁴ = 16 ⇒ q = 2 (چون جملات مثبت هستند q > 0)
a = 2 ÷ q² = 2 ÷ 4 = 1/2 (یک دوم)
جملهٔ چهارم: aq³ = 1/2 (یک دوم) × (2)³ = 4

نکته: n(A′) = n(U) − n(A)
نکته: n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
راه‌حل: مجموعهٔ خانواده‌های دارای فرزند پسر را با B و مجموعهٔ خانواده‌های دارای فرزند دختر را با G نمایش می‌دهیم؛ داریم:
n(B) = 70 ، n(G) = 65 ، n((B∪G)′) = 13 ⇒ n(U) − (n(B) + n(G) − n(B∩G)) = 13
⇒ 100 − 13 = 70 + 65 − n(B∩G) ⇒ n(B∩G) = 135 − 87 = 48
مجموعهٔ خانواده‌هایی که دارای فرزند با جنسیت یکسان (فقط پسر یا فقط دختر) هستند، برابر (B∪G) − (B∩G) است:
n((B∪G) − (B∩G)) = n(B∪G) − n(B∩G) = 87 − 48 = 39

نکته: مجموعه‌هایی که تعداد اعضای آن‌ها یک عدد حسابی است، مجموعه‌های متناهی و هر مجموعه‌ای را که تعداد اعضای آن از هر عددی که در نظر بگیریم، بزرگ‌تر است، مجموعهٔ نامتناهی می‌نامیم.
B شامل تمامی اعداد طبیعی است؛ از آنجا که مجموعهٔ اعداد طبیعی نامتناهی است، پس B نیز حتماً نامتناهی است. سایر مجموعه‌ها (A، A′ و B′) می‌توانند متناهی باشند. به‌طور مثال اگر مجموعهٔ مرجع را U = ℕ در نظر بگیریم:
اگر B = ℕ ⇒ B′ = ∅ ⇒ B′ متناهی
اگر A = {1} ⇒ A متناهی
اگر A = {2، 3، 4، ...} ⇒ A′ = {1} ⇒ A′ متناهی
پس تنها B حتماً نامتناهی است.

چون زاویهٔ C قائمه است: AC = AB × sinB = 10 × sin65° = 10 × 0/9 = 9
با رابطهٔ فیثاغورس: BC² = AB² − AC² = 100 − 81 = 19
و چون sinA = BC/AB است: sin²A = BC²/AB² = 19/100 = 0/19
بنابراین: 2sin²A + 1 = 2 × 0/19 + 1 = 0/38 + 1 = 1/38

مطابق شکل، عمود BH را از رأس B بر ضلع AC در نظر می‌گیریم.
در مثلث قائم‌الزاویهٔ ABH (زاویهٔ A = 60° و AB = 20√3):
BH = AB × sin60° = 20√3 × (√3/2) = 30
در مثلث قائم‌الزاویهٔ BHC (زاویهٔ C = 45°):
sin45° = BH/BC ⇒ BC = BH ÷ sin45° = 30 ÷ (√2/2) = 60/√2 = 30√2

ابتدا شیب خطوط داده شده را به‌دست می‌آوریم.
(1) شیب خط = (b−a)/(5−2) = (b−a)/3 = tanα ⇒ b−a = 3tanα (1)
(2) شیب خط = (12−6)/(a−b) = 6/(a−b) = tanβ (2)
با ترکیب روابط (1) و (2) خواهیم داشت:
6/(−3tanα) = tanβ ⇒ tanα.tanβ = −2 یا cotα.cotβ = −1/2

25sin²θ−9=0 و ناحیة دوم ⇒ sinθ = 3/5 , cosθ = −4/5
A(1−a,1+b): cosθ = 1−a و sinθ = 1+b
⇒ 1−a = −4/5 ⇒ a = 1/8
⇒ 1+b = 3/5 ⇒ b = −0/4
B(−0/4+b,1/2−a) با a=1/8 و b=−0/4 ⇒ B(−4/5,−3/5)
(مطابق شکل: AB پاره‌خطی عمودی در سمت چپ دایره و OH عمود بر آن از مرکز O است.)
OH = |cosθ| = 0/8
AB = 2|sinθ| = 1/2
S_OAB = 1/2 × AB × OH = 1/2 × 1/2 × 0/8 = 0/48

با اتحاد مزدوج و اتحاد cos²α + sin²α = 1:
cos⁴α − sin⁴α = (cos²α − sin²α)(cos²α + sin²α) = cos²α − sin²α
با استفاده از اتحاد 1 + tan²α = 1/cos²α:
(cos²α − sin²α)(1 + tan²α) = (cos²α − sin²α) × (1/cos²α) = 1 − tan²α
و در نهایت:
(1 − tan²α) + tan²α = 1

از شرط اول: چون cos³α همیشه هم‌علامت با cosα است، از cos³α.cotα > 0 نتیجه می‌گیریم cosα و cotα هم‌علامت هستند.
از شرط دوم: cosα + cotα < 0؛ حاصل‌جمع دو عبارت هم‌علامت فقط وقتی منفی است که هر دو منفی باشند؛ پس:
cosα < 0 , cotα < 0
cosα < 0 ⇒ ناحیهٔ دوم یا سوم
cotα < 0 ⇒ ناحیهٔ دوم یا چهارم
بنابراین انتهای کمان α در ناحیهٔ دوم قرار می‌گیرد.

نکته: Sin²α + Cos²α = 1 و Cotα = Cosα/Sinα
بین دو کسر داده‌شده مخرج مشترک گرفته و آن را ساده می‌کنیم:
A = Sinα/(Cosα+1) + Sinα/(Cosα−1) = [Sinα(Cosα−1) + Sinα(Cosα+1)] / [(Cosα+1)(Cosα−1)]
= 2SinαCosα/(Cos²α−1) = 2SinαCosα/(−Sin²α) = −2Cosα/Sinα = −2Cotα

چون طبق شکل از نقطه H حالت قرینه داریم خواهیم داشت:

AB : طول کابل اولیه
AC : طول کابل اولیه
HB : تصویر کابل اولیه با زمین
HC : تصویر کابل جدید با زمین

<ABH : sin60 = AH/AB  ⇒ √3/2=10√3/AB ⇒ AB=20متر
<AHC : tan30 = AH/HC  ⇒ √3/3=10√3/HC ⇒ HC=30متر
اختلاف: 30-20=10

زمانی دو زاویه منطبق می‌شوند که اختلافشان، مضربی صحیح از 360 باشد. این مورد در تمامی گزینه‌ها به غیر از گزینه 4 صدق می‌کند:

390=510-120

از شرط اول: ⁦sinα.cosα < 0⁩ یعنی sinα و cosα هم‌علامت نیستند؛ پس α در ناحیهٔ دوم یا چهارم است.
از شرط دوم: ⁦sinα.tanα = sin²α/cosα > 0⁩ و چون ⁦sin²α > 0⁩ است، باید ⁦cosα > 0⁩ باشد؛ پس α در ناحیهٔ اول یا چهارم است.
بنابراین انتهای کمان α فقط می‌تواند در ناحیهٔ چهارم قرار داشته باشد.

چون ⁦cotα⁩ تعریف شده است، ⁦sinα ≠ 0⁩؛ پس می‌توانیم صورت و مخرج کسر را بر ⁦sinα تقسیم کنیم:
⁦(cosα + sinα)/(cosα − sinα) = (cotα + 1)/(cotα − 1) = (2 + 1)/(2 − 1) = 3⁩

ابتدا فاصلهٔ نقطه P تا مبدأ را به‌دست می‌آوریم:
⁦r = √((−3)² + 4²) = √25 = 5⁩
بنابراین:
⁦sinθ = 4/5⁩ , ⁦cosθ = −3/5⁩ , ⁦tanθ = 4/(−3) = −4/3⁩
و در نتیجه:
⁦sinθ + tanθ = 4/5 − 4/3 = (12 − 20)/15 = −8/15⁩

با اتحاد مجموع مکعب‌ها: ⁦x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)⁩.
پس: ⁦(x³ + 8) / (x² − 2x + 4) = x + 2⁩.

با تکرار اتحاد مزدوج: ⁦x⁸ − y⁸ = (x⁴ − y⁴)(x⁴ + y⁴) = (x² − y²)(x² + y²)(x⁴ + y⁴) = (x − y)(x + y)(x² + y²)(x⁴ + y)⁩.
بنابراین ⁦x³ + y³⁩ در تجزیه وجود ندارد.

با اتحاد مزدوج: ⁦x⁶ − 64 = (x³)² − 8² = (x³ − 8)(x³ + 8)⁩
سپس با اتحاد مجموع و اختلاف مکعب‌ها: ⁦(x − 2)(x² + 2x + 4)(x + 2)(x² − 2x + 4)⁩
پس ⁦x + 2⁩ یکی از عامل‌های تجزیه است.

از رابطهٔ اول، b را در رابطهٔ دوم جایگذاری می‌کنیم: ⁦bʸ = (aˣ)ʸ = a^(xy)⁩ و این برابر a است: ⁦a^(xy) = a¹⁩.
چون ⁦a > 0⁩ و ⁦a ≠ 1⁩، نتیجه می‌شود ⁦xy = 1⁩.

⁦16^(3/4) = (16^(1/4))³ = 2³ = 8⁩ (زیرا ⁴√16 برابر 2 است).
⁦16^(1/2) = √16 = 4⁩.
پس حاصل: ⁦8 + 4 = 12⁩.

9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)² = 2² = 4⁩
⁦27 = (3³)ˣ = (3ˣ)³ = 2³ = 8⁩
پس حاصل عبارت برابر است با ⁦4 + 8 = 12⁩.

همهٔ مبناها را به 2 تبدیل می‌کنیم: ⁦4³ = (2²)³ = 2⁶⁩ و ⁦8² = (2³)² = 2⁶⁩.
بنابراین: ⁦(2 × 2⁶) / 2⁶ = 2¹¹ / 2⁶ = 2⁵ = 32⁩.

توان 2/3 یعنی ابتدا ریشهٔ سوم بگیریم و سپس به توان 2 برسانیم: ⁦8^(1/3) = 2⁩ (³√8) و بعد ⁦2² = 4⁩.
پس ⁦8^(2/3) = 4⁩.

⁴√a فقط برای a ≥ 0 تعریف می‌شود. اگر دو طرف رابطه را به توان 4 برسانیم: ⁦a = a⁴⁩ یعنی ⁦a⁴ − a = 0⁩ یعنی ⁦a(a³ − 1) = 0⁩؛ پس a = 0⁩ یا ⁦a = 1⁩.
هر دو مقدار قابل قبول‌اند (⁴√0 = 0 و ⁴√1 = 1). مجموع: ⁦0 + 1 = 1⁩.

چون a ریشهٔ ششم 8 است، ⁦a⁶ = 8⁩. پس ⁦(a²)³ = 8⁩ یعنی a² همان ³√8 است: ⁦a² = 2⁩.
بنابراین ⁦a² + 3 = 2 + 3 = 5⁩.

ریشهٔ فرد از یک عدد منفی تعریف می‌شود و چون ⁦(−2)³ = −8⁩ است، ³√(−8) برابر −2 است.
گزینهٔ 1 نادرست است زیرا ⁦3³ = 27⁩ است نه 9. گزینهٔ 2 نادرست است زیرا ریشهٔ زوج (⁴√16) فقط مقدار نامنفی یعنی 2 را دارد. گزینهٔ 3 نادرست است زیرا ریشهٔ زوج از عدد منفی، در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود.

در ضرب عبارت‌های توان‌دار با مبنای یکسان، توان‌ها با هم جمع می‌شوند: ⁦a² × a³ = a⁵⁩؛ پس گزینهٔ 3 درست و گزینهٔ 1 نادرست است.
گزینهٔ 2 نادرست است زیرا ⁦(a²)³ = a⁶⁩ و گزینهٔ 4 نادرست است زیرا ⁦(a + b)² = a² + 2ab + b²⁩.

گزینهٔ 4: |2x + 1| < 3 → -3 < 2x + 1 < 3 → -4 < 2x < 2 → -2 < x < 1. ✓
(بررسی بقیه: گزینهٔ 1 جواب (2, 0)، گزینهٔ 2 جواب (1, 0) و گزینهٔ 3 جواب (1, 3-) می‌دهد.)

بازهٔ منفی بودن، بین دو ریشه است؛ پس ریشه‌ها 1- و 3 اند:
مجموع ریشه‌ها: a → a = -2؛ حاصل‌ضرب ریشه‌ها: 3- = b.
پس a + b = -2 - 3 = -5.

نامعادله یعنی:
-2 ≤ x² + x ≤ 2
سمت راست: x² + x - 2 ≤ 0 → (x + 2)(x - 1) ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 1.
سمت چپ: x² + x + 2 ≥ 0 که همواره برقرار است (Δ < 0).
پس مجموعهٔ جواب [−2, 1] و b - a = 1 - (-2) = 3.

عبارت x² + 4 همواره مثبت است (چون Δ < 0 و ضریب x² مثبت).
پس علامت حاصل‌ضرب فقط به x بستگی دارد: برای منفی شدن باید x < 0 باشد.